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Petit Koldois
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Polynôme Bac L 2011

Par Petit Koldois 9 min de lecture
Soit le polynôme P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 6 où a et b sont des réels.   1) Déterminer les réels a et b sachant que P(-2) = 0 et P (-1) = 8.   2) On pose P(x)= x^3 - 2x^2 - 5x + 6.   a) Factoriser P(x).   b) Résoudre dans \mathbb{R} l’équation P(x) = 0.   c) Résoudre dans \mathbb{R} l’inéquation P(x) \geq 0.   d) Déduire de la question 2.b) les solutions de l’équation (E).   E) e^{3x+1} - 2 e^{2x+1} - 5 e^{x+1} + 6 e = 0.  

Corrigé

  P(x)=x^3+ax^2+bx+6 (a,b) \in \mathbb{R}^2   1. Déterminons les réels a et b sachant que P(-2)=0 et P(-1)=8   P(-2) = 0 signifie que (-2)^3+a(-2)^2+b(-2)+6=0   ce qui donne -8 + 4a - 2b + 6 = 0   soit 4a - 2b - 2 = 0 (1) P(-1) = 0 signifie que (-1)^3+a(-1)^2+b(-1)+6=0   ce qui donne -1 + a - b + 6 = 8   soit a - b = 3 (2)   P(-2) = 0 et P(-1) = 8 se traduit donc par le système :   \left\{ \begin{array}{l} 4a - 2b = 2 \\ a - b = 3 \end{array} \right.   soit \left\{ \begin{array}{l} 2a - b = 1 \\ a - b = 3 \end{array} \right.   soit \left\{ \begin{array}{l} 2a - b = 1\ (1) \\ a - b = 3\ (2) \end{array} \right.   soit \left\{ \begin{array}{l} a = -2\ (1)-(2) \\ -2 - b = 3 \end{array} \right.   soit \left\{ \begin{array}{l} a = -2\\ b = -5 \end{array} \right.   2) a) Factorisons P(x)=x^3+ax^2+bx+6.   Comme P(-2) = 0, alors -2 est racine de P(x) donc P(x)=(x+2)(x^2+\alpha x +\beta)   P(x)= x^3 +\alpha x^2 + 2 x^2 + \beta x + 2\alpha x + 2 \beta   P(x)= x^3 +(\alpha + 2)x^2 + (\beta + 2\alpha)x + 2 \beta   mais P(x)=x^3+ax^2+bx+6 donc par identification on a : \left\{ \begin{array}{l} \alpha + 2 = -2\\ 2\alpha + \beta = -5 \\ 2\beta = 6 \end{array} \right.   soit \left\{ \begin{array}{l} \alpha = -4\\ \beta = 3 \end{array} \right.   Ainsi P(x)=(x+2)(x^2 -4x + 3)   1 est racine évidente de x^2 -4x + 3   donc P(x) = (x+2)(x-2)(x-3)   b) Résolvons l'équation P(x) = 0   P(x)=0\ \Longleftrightarrow (x+2)(x-2)(x-3) = 0   \Longleftrightarrow x = -2\ ou\ x = 2\ ou\ x = 3   S=\{-2,2,3\}   c) Déduisons de 2b) les solutions de (E) :   (E)\ :\ e^{3x+1} -2e^{2x+1} -5e^{x+1} +6e = 0   (E)\Longleftrightarrow e \left(e^{3x} -2e^{2x} -5e^{x} + 6\right) = 0   en posant e^{x}=X on obtient avec X > 0   (E)\Longleftrightarrow X^{3} -2X^{2} -5X + 6 = 0   \Longleftrightarrow P(X)=0   \Longleftrightarrow X = 2\ ou\ X = 3 car X > 0   Soit e^{x}=2\ ou\ e^{x}=3   Soit x=\ln 2\ ou\ x =\ln 3   S' =\{\ln 2, \ln 3\}
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